Trigonometri Contoh

$\sin (2 x) = \sin (x)$ , $(0, 2 π)$

Langkah 1

Kurangkan $\sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Langkah 2

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 5.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 5.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $2 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (x) = 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 6.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 6.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 6.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan $2 π n$ dan $π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Langkah 9.1.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{π}{3}$

Langkah 9.1.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 9.2

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$π (1)$

Langkah 9.2.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 9.2.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $π$ .

$x = \frac{π}{3}, π$

Langkah 9.3

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{5 π}{3} + 2 π (0)$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{5 π}{3} + 0 π$

Langkah 9.3.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{5 π}{3} + 0$

Langkah 9.3.2.2

Tambahkan $\frac{5 π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{5 π}{3}$

Langkah 9.3.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$