Trigonometri Contoh

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x} - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Langkah 3.2

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Langkah 3.3

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Langkah 3.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Langkah 3.5

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 3.5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 3.5.2

Kalikan setiap suku pada $4 u - \frac{4}{u} = 1$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $4 u - \frac{4}{u} = 1$ dengan $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1.1

Pindahkan $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Langkah 3.5.2.2.1.1.2

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{u}$ ke dalam pembilangnya.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Langkah 3.5.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Langkah 3.5.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Langkah 3.5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Kurangkan $u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Langkah 3.5.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = - 1$ , dan $c = - 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.4.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.4.1.3

Tambahkan $1$ dan $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Langkah 3.5.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Langkah 3.6

Substitusikan $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Langkah 3.7

Selesaikan $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Langkah 3.7.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Langkah 3.7.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Langkah 3.7.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Langkah 3.7.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Langkah 3.8

Substitusikan $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Langkah 3.9

Selesaikan $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Langkah 3.9.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Langkah 3.9.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.9.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.10

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Bentuk Desimal:

$x = 0.12467674 \dots$