Trigonometri Contoh

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Langkah 1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Langkah 1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $\cot (x)$ dengan $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $- 1 \csc (x)$ sebagai $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Langkah 2

Faktorkan $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Langkah 4

Atur $\csc (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\csc (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\csc (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\csc (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 4.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.7

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 4.2.7.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.7.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.2.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 4.2.7.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.7.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $\cot (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cot (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cot (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cot (x) = 1$

Langkah 5.2.2

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (1)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $arccot (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.4

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 5.2.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 5.2.5.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{π}{4} + π n$ dan $\frac{5 π}{4} + π n$ menjadi $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$