Trigonometri Contoh

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Langkah 1

Evaluasi $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Langkah 2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Nilai eksak dari $\tan (112.5)$ adalah $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $112.5$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Langkah 2.1.2

Terapkan identitas setengah sudut tangen.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.2

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.7

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.8

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.10

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.12

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.13

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.14

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.15

Sederhanakan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.16

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.17

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.17.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.17.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.18

Gabungkan $\sqrt{2}$ dan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.19.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.3

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.19.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5

Hapus faktor persekutuan dari $2 \sqrt{2} + 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.19.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.19.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.19.5.4.4

Bagilah $\sqrt{2} + 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.20

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.4.21

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Langkah 2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Langkah 2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Langkah 2.5

Tulis kembali ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ sebagai $3 + 2 \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ sebagai ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Langkah 2.5.5

Sederhanakan.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Langkah 2.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Langkah 2.7

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Langkah 2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Langkah 2.9

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Langkah 3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Langkah 5

Kalikan $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Langkah 6

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Langkah 8

Hapus faktor persekutuan dari $- 2 + 2 \sqrt{2}$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $2$ dari $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Langkah 8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Langkah 9

Hapus faktor persekutuan dari $- 2 + 2 \sqrt{2}$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $2$ dari $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Langkah 9.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Langkah 10

Tulis kembali $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ sebagai $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Langkah 11

Kalikan $0.60355339$ dengan $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Langkah 12

Kalikan $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0.5$ .

$- - 0.5$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.5$ .

$0.5$