Trigonometri Contoh

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Langkah 1

Mulai dari sisi kiri.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Langkah 2

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ dengan $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ dengan $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 3

Sederhanakan pembilang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 3.1.2

Kalikan $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 3.1.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 4

Sederhanakan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perluas $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Langkah 4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Langkah 4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Langkah 4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Langkah 5

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 6

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 6.2

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Tambahkan $- \sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Tambahkan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dan $0$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.4.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.4.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.5

Untuk menuliskan $\cos (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.7

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.7.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.7.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.1.7.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.2

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.4

Gabungkan.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.5

Hapus faktor persekutuan dari $\sin (x)$ dan ${\sin (x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Langkah 7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Langkah 7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 7.6

Kalikan $1 + {\cos (x)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 8

Sekarang perhatikan sisi kanan dari persamaan.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Langkah 9

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis $\cot (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

Langkah 9.2

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Langkah 9.3

Terapkan identitas timbal balik ke $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 10

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 11

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Untuk menuliskan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 11.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $\sin (x) \cos (x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dengan $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 11.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 11.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 12

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Langkah 14

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$ adalah identitas