Trigonometri Contoh

(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Langkah 1

Terapkan sifat distributif.

4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Langkah 2

Kalikan

8

$8$ dengan

4

$4$ .

32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Langkah 3

Kalikan

- 4 i (8 i)

$- 4 i (8 i)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan

8

$8$ dengan

- 4

$- 4$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i i

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Langkah 3.2

Naikkan

i

$i$ menjadi pangkat

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Langkah 3.3

Naikkan

i

$i$ menjadi pangkat

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Langkah 3.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali

i^{2}

$i^{2}$ sebagai

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Langkah 4.2

Kalikan

- 32

$- 32$ dengan

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

Langkah 5

Susun kembali

32 \sqrt{3} i

$32 \sqrt{3} i$ dan

32

$32$ .

32 + 32 \sqrt{3} i

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Langkah 6

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana

| z |

$| z |$ adalah modulusnya dan

θ

$θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 7

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana

z = a + b i

$z = a + b i$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai aktual dari

a = 32

$a = 32$ dan

b = 32 \sqrt{3}

$b = 32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Langkah 9

Temukan

| z |

$| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Langkah 9.1.2

Naikkan

32

$32$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Langkah 9.2

Tulis kembali

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ sebagai

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Langkah 9.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Langkah 9.2.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Langkah 9.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Langkah 9.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Langkah 9.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan

$1024$ dengan

$3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Langkah 9.3.2

Naikkan

$32$ menjadi pangkat

$2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Langkah 9.3.3

Tambahkan

$3072$ dan

$1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Langkah 9.3.4

Tulis kembali

$4096$ sebagai

$64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Langkah 9.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 64$

Langkah 10

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Langkah 11

Karena tangen balikan

$\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah

$\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Langkah 12

Substitusikan nilai-nilai dari

$θ = \frac{π}{3}$ dan

$| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$