Trigonometri Contoh

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $15 (4 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $15$ dengan $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $20$ dengan $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.13

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.14

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.15

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.17

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.19

Kalikan $8$ dengan $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.20

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.21

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.22

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.23

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.24

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.24.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.24.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.25

Kalikan $15 (16 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.25.1

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.25.2

Kalikan $15$ dengan $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.26

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.27

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.28

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.29

Faktorkan $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.30

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.30.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.30.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.30.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.31

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.32

Kalikan $- 32$ dengan $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

Langkah 2.1.33

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

Langkah 2.1.34

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

Langkah 2.1.35

Faktorkan $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

Langkah 2.1.36

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.36.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Langkah 2.1.36.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Langkah 2.1.36.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

Langkah 2.1.37

Kalikan $i^{2}$ dengan $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

Langkah 2.1.38

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

Langkah 2.1.39

Kalikan $64$ dengan $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $60$ dengan $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tambahkan $- 59$ dan $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $64$ dengan $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $160 i$ dengan $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 148 i$ dan $192 i$ .

$117 + 44 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 117$ dan $b = 44$ .

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $44$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $117$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

Langkah 6.3

Tambahkan $1936$ dan $13689$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $15625$ sebagai $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 125$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{44}{117}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $0.35970699$ .

$θ = 0.35970699$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 0.35970699$ dan $| z | = 125$ .

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$