Trigonometri Contoh

$\sin (3 x)$

Langkah 1

Metode yang bagus untuk memperluas $\sin (3 x)$ adalah menggunakan teorema De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Ketika $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Langkah 2

Perluas sisi kanan dari $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ menggunakan teorema binomial.

Perluas: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

Langkah 3

Gunakan Teorema Binomial.

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Langkah 4.1.3

Tulis kembali $- 1 \sin^{2} (x)$ sebagai $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

Langkah 4.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

Langkah 4.1.6

Faktorkan $i^{2}$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

Langkah 4.1.7

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

Langkah 4.1.8

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Langkah 4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Langkah 5

Ambil pernyataan dengan bagian imajiner, yang sama dengan $\sin (3 x)$ . Hapus bilangan imajiner $i$ .

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$