Trigonometri Contoh

${(2 - 2 i)}^{5}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $10$ dengan $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $80 (4 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $80$ dengan $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.13

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.14

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.15

Faktorkan $i^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.17

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.19

Kalikan $8$ dengan $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.20

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.21

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.22

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.23.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24

Kalikan $10 (16 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24.2

Kalikan $10$ dengan $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Langkah 2.1.25

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Langkah 2.1.26

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Langkah 2.1.27

Faktorkan $i^{4}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Langkah 2.1.28

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.28.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Langkah 2.1.29

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $320$ dengan $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 288$ dan $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $- 160 i$ dan $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Langkah 2.2.4

Kurangi $32 i$ dengan $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 128$ dan $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $128$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 128$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Langkah 6.3

Tambahkan $16384$ dan $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $32768$ sebagai $128^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $16384$ dari $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $16384$ sebagai $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{128}{- 128}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{3 π}{4}$ dan $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$