Trigonometri Contoh

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Langkah 1.2

Kurangkan $4 \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 2

Ganti $4 \sin^{2} (x)$ dengan $4 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 6

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Langkah 7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $4 u^{2}$ sebagai ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Langkah 7.2.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Langkah 7.2.4

Tulis kembali polinomialnya.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 7.2.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 2 u$ dan $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 8.2.2

Bagilah ${(2 u + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Langkah 9

Atur $2 u + 1$ agar sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Langkah 10

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 1$

Langkah 10.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 10.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{1}{2}$

Langkah 11

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 12

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 13

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 14

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 15

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 15.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 15.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 15.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 16

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 16.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 16.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 16.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 17

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$