Trigonometri Contoh

$\sin (2 x)$

Langkah 1

Metode yang bagus untuk memperluas $\sin (2 x)$ adalah menggunakan teorema De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Ketika $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Langkah 2

Perluas sisi kanan dari $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ menggunakan teorema binomial.

Perluas: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{2}$

Langkah 3

Tulis kembali ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ sebagai $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

Langkah 4

Perluas $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5.1.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Langkah 5.1.3

Kalikan $i \sin (x) (i \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

Langkah 5.1.3.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

Langkah 5.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

Langkah 5.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

Langkah 5.1.3.5

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Langkah 5.1.3.6

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Langkah 5.1.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Langkah 5.1.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

Langkah 5.1.4

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali $- 1 \sin^{2} (x)$ sebagai $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 5.3

Tambahkan $i \cos (x) \sin (x)$ dan $i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 6

Pindahkan $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Langkah 7

Terapkan identitas sudut ganda kosinus.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Langkah 8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tambahkan tanda kurung.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

Langkah 8.2

Susun kembali $2 i$ dan $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

Langkah 8.3

Tambahkan tanda kurung.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

Langkah 8.4

Susun kembali $\cos (x)$ dan $\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

Langkah 8.5

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

Langkah 8.6

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

Langkah 9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$

Langkah 10

Ambil pernyataan dengan bagian imajiner, yang sama dengan $\sin (2 x)$ . Hapus bilangan imajiner $i$ .

$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$