Trigonometri Contoh

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 1

Mulai dari sisi kiri.

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$

Langkah 2

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}^{2}$

Langkah 2.2

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali ${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ sebagai $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2

Perluas $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3

Kalikan $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 2.3.3.1.4

Kalikan $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.2

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.3

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.4

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.5

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.8

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.9

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.3.2

Kurangi $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ dengan $- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 2 \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + \sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\sin (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $\sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.3.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.4

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.4.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Langkah 3.3.4.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.4.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(1 - \sin (x))}^{2}$ dan $1 - \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 6

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ adalah identitas