Trigonometri Contoh

$\tan (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})$

Langkah 1

Untuk menuliskan $\frac{5 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Langkah 2

Untuk menuliskan $- \frac{π}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{5 π}{3}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 3.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Langkah 3.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

Langkah 4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\tan (\frac{5 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})$

Langkah 5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\tan (\frac{20 π - π \cdot 3}{12})$

Langkah 5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\tan (\frac{20 π - 3 π}{12})$

Langkah 5.3

Kurangi $3 π$ dengan $20 π$ .

$\tan (\frac{17 π}{12})$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\tan (\frac{17 π}{12})$ adalah $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{17 π}{12}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$\tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Langkah 6.2

Terapkan identitas setengah sudut tangen.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.3

Change the $\pm$ to $+$ because tangent is positive in the third quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.4

Kalikan $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Langkah 6.4.7

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}}$

Langkah 6.4.8

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Langkah 6.4.9

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Langkah 6.4.10

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Langkah 6.4.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Langkah 6.4.12

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Langkah 6.4.13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Langkah 6.4.13.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Langkah 6.4.14

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Langkah 6.4.15

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Langkah 6.4.16

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Langkah 6.4.17

Sederhanakan.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Langkah 6.4.18

Bagilah $2 + \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Langkah 6.4.19

Perluas $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.19.1

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Langkah 6.4.19.2

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Langkah 6.4.19.3

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 6.4.20

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.20.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.20.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 6.4.20.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 6.4.20.1.3

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Langkah 6.4.20.1.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Langkah 6.4.20.1.5

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Langkah 6.4.20.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Langkah 6.4.20.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Langkah 6.4.20.3

Tambahkan $2 \sqrt{3}$ dan $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Bentuk Desimal:

$3.73205080 \dots$