Trigonometri Contoh

$\cos (2 x) = \cos (x)$

Langkah 1

Kurangkan

$\cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (2 x) - \cos (x) = 0$

Langkah 2

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah

$\cos (2 x)$ menjadi

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Untuk polinomial dari bentuk

$a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah

$b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan

$- 1$ dari

$- \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali

$- 1$ sebagai

$1$ ditambah

$- 2$

$2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2.4

Kalikan

$\cos (x)$ dengan

$1$ .

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar,

$2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5

Atur

$2 \cos (x) + 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur

$2 \cos (x) + 1$ sama dengan

$0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan

$2 \cos (x) + 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada

$2 \cos (x) = - 1$ dengan

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di

$2 \cos (x) = - 1$ dengan

$2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah

$\cos (x)$ dengan

$1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari

$\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah

$\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan

$3$ dengan

$2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi

$2 π$ dengan

$6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi

$\cos (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 6

Atur

$\cos (x) - 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur

$\cos (x) - 1$ sama dengan

$0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan

$\cos (x) - 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 6.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Nilai eksak dari

$\arccos (1)$ adalah

$0$ .

$x = 0$

Langkah 6.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 6.2.5

Kurangi

$0$ dengan

$2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 6.2.6

Tentukan periode dari

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.6.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.6.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.7

Periode dari fungsi

$\cos (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 8

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$