Trigonometri Contoh

2 {sin}^{2} (x) - sin (x) - 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ . Masukkan

u

$u$ untuk semua kejadian

sin (x)

$\sin (x)$ .

2 u^{2} - u - 1 = 0

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah

a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah

b = - 1

$b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan

- 1

$- 1$ dari

- u

$- u$ .

2 u^{2} - (u) - 1 = 0

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali

- 1

$- 1$ sebagai

1

$1$ ditambah

- 2

$- 2$

2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.4

Kalikan

u

$u$ dengan

1

$1$ .

2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar,

2 u + 1

$2 u + 1$ .

(2 u + 1) (u - 1) = 0

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

(2 u + 1) (u - 1) = 0

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

sin (x)

$\sin (x)$ .

(2 sin (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

(2 sin (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

0

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

0

$0$ .

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$

sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

Langkah 3

Atur

2 sin (x) + 1

$2 \sin (x) + 1$ agar sama dengan

0

$0$ dan selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur

2 sin (x) + 1

$2 \sin (x) + 1$ sama dengan

0

$0$ .

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$ untuk

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan

1

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$ dengan

2

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$ dengan

2

$2$ .

\frac{2 sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah

$\sin (x)$ dengan

$1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah

$- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari

$2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke

$π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Kurangi

$2 π$ dengan

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 3.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari

$\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari

$2 π$ , dan koterminal dengan

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari

$\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.8

Tambahkan

$2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Tambahkan

$2 π$ ke

$- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 3.2.8.2

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.3.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Kalikan

$6$ dengan

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 3.2.8.4.2

Kurangi

$π$ dengan

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 3.2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi

$\sin (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 4

Atur

$\sin (x) - 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur

$\sin (x) - 1$ sama dengan

$0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan

$\sin (x) - 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$\sin (x) = 1$

Langkah 4.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari

$\arcsin (1)$ adalah

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan

$π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Untuk menuliskan

$π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.2.1

Gabungkan

$π$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.2.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.3.1

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 4.2.5.3.2

Kurangi

$π$ dengan

$2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari

$\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.7

Periode dari fungsi

$\sin (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$