Trigonometri Contoh

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Langkah 1

Gunakan identitas untuk menyelesaikan persamaan. Dalam identitas ini, $θ$ mewakili sudut yang dibuat dengan menggambar titik $(a, b)$ pada grafik dan oleh karena itu dapat ditemukan menggunakan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ di mana $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Langkah 2

Buat persamaannya untuk mencari nilai dari $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Langkah 3

Ambil tangen balikan untuk menyelesaikan persamaan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\tan^{-1} (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Langkah 4

Selesaikan untuk menemukan nilai dari $R$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Langkah 4.3

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $18$ sebagai $3^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Langkah 4.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Langkah 4.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$R = 3 \sqrt{2}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaannya.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ dengan $3 \sqrt{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ dengan $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $\sin (x - \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.3.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 6.3.2.2

Pindahkan $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Langkah 6.3.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Langkah 6.3.2.4

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Langkah 6.3.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 6.3.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 6.3.2.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 6.3.2.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 6.3.2.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.3.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.3.2.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Langkah 6.3.2.7.5

Evaluasi eksponennya.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Langkah 6.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2

Tambahkan $0.23794112$ dan $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Langkah 10

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Langkah 11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kurangi $0.23794112$ dengan $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Langkah 11.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $2.90365152$ dan $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Langkah 12

Tentukan periode dari $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13

Periode dari fungsi $\sin (x - \frac{π}{4})$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$