Trigonometri Contoh

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Langkah 1

Mulai dari sisi kiri.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Langkah 2

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Langkah 3

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Langkah 3.2

Tulis $\cot (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Langkah 3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Langkah 3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 4

Tulis $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 5

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menuliskan $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 7

Tulis $\sin^{2} (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 8

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menuliskan $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 8.2

Kalikan $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 9

Tulis $\cos^{2} (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 10

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Untuk menuliskan $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 10.2

Kalikan $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 10.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 11

Kalikan ${\cos (x)}^{2}$ dengan ${\cos (x)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 12

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.2

Kalikan ${\cos (x)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.3

Kalikan ${\cos (x)}^{2}$ dengan ${\cos (x)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Pindahkan ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.4

Tambahkan $- {\cos (x)}^{4}$ dan ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.2.5

Tambahkan ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ dan $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 13.3

Kalikan $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Langkah 14

Sekarang perhatikan sisi kanan dari persamaan.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Langkah 15

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Langkah 15.2

Terapkan identitas timbal balik ke $\csc (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Langkah 15.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Langkah 15.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 17

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Untuk menuliskan $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 17.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 17.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Kalikan $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 17.3.2

Kalikan $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Langkah 17.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Langkah 17.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Langkah 18

Kalikan ${\sin (x)}^{2}$ dengan ${\sin (x)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Langkah 19

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ adalah identitas