Trigonometri Contoh

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\cos (2 θ)$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Langkah 2

Tambahkan $u$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u^{2} + u = 1$

Langkah 3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Langkah 4

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Langkah 4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Langkah 4.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 6

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 7

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 7.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 9

Substitusikan $\cos (2 θ)$ untuk $u$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 10

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Langkah 11

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 11.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $60$ .

$2 θ = 60$

Langkah 11.3

Bagi setiap suku pada $2 θ = 60$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagilah setiap suku di $2 θ = 60$ dengan $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Langkah 11.3.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Langkah 11.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Bagilah $60$ dengan $2$ .

$θ = 30$

Langkah 11.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $360$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 θ = 360 - 60$

Langkah 11.5

Selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Kurangi $60$ dengan $360$ .

$2 θ = 300$

Langkah 11.5.2

Bagi setiap suku pada $2 θ = 300$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 θ = 300$ dengan $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Langkah 11.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Langkah 11.5.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Langkah 11.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.3.1

Bagilah $300$ dengan $2$ .

$θ = 150$

Langkah 11.6

Tentukan periode dari $\cos (2 θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 11.6.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Langkah 11.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{360}{2}$

Langkah 11.6.4

Bagilah $360$ dengan $2$ .

$180$

Langkah 11.7

Periode dari fungsi $\cos (2 θ)$ adalah $180$ sehingga nilai akan berulang setiap $180$ derajat di kedua arah.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 12

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (2 θ) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $180$ .

$2 θ = 180$

Langkah 12.3

Bagi setiap suku pada $2 θ = 180$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Bagilah setiap suku di $2 θ = 180$ dengan $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Langkah 12.3.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Langkah 12.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Bagilah $180$ dengan $2$ .

$θ = 90$

Langkah 12.4

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $360$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$2 θ = 360 - 180$

Langkah 12.5

Selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Kurangi $180$ dengan $360$ .

$2 θ = 180$

Langkah 12.5.2

Bagi setiap suku pada $2 θ = 180$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 θ = 180$ dengan $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Langkah 12.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Langkah 12.5.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Langkah 12.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.3.1

Bagilah $180$ dengan $2$ .

$θ = 90$

Langkah 12.6

Tentukan periode dari $\cos (2 θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 12.6.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Langkah 12.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{360}{2}$

Langkah 12.6.4

Bagilah $360$ dengan $2$ .

$180$

Langkah 12.7

Periode dari fungsi $\cos (2 θ)$ adalah $180$ sehingga nilai akan berulang setiap $180$ derajat di kedua arah.

$θ = 90 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Gabungkan jawabannya.

$θ = 30 + 60 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$