Trigonometri Contoh

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Langkah 1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $3$ dari $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Langkah 2

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ dengan konjugat $0.8660254 + 0.5 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Langkah 3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.5

Perluas $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1.1

Kalikan $0.8660254$ dengan $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.2

Kalikan $- 0.5 i$ dengan $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.3

Kalikan $0.8660254$ dengan $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.4

Pindahkan $1.5$ ke sebelah kiri $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.5

Kalikan $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1.5.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.5.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.5.5

Kalikan $- 0.5$ dengan $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.1.7

Kalikan $- 0.8660254$ dengan $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.2

Tambahkan $0.8660254$ dan $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.2.6.3

Tambahkan $- 0.5 i$ dan $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $0.8660254$ dengan $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 0.5$ dengan $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $0.8660254$ dengan $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 0.5$ dengan $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Langkah 3.3.2.5

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Langkah 3.3.2.6

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Langkah 3.3.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Langkah 3.3.2.9

Tambahkan $- 0.4330127 i$ dan $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Langkah 3.3.3.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.3.3

Kalikan $- 0.25$ dengan $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $0.75$ dan $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $0.75$ dan $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Langkah 4

Tulis kembali $1.7320508$ sebagai $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Langkah 5

Faktorkan $1$ dari $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Langkah 6

Faktorkan $1$ dari $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Langkah 7

Faktorkan $1$ dari $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Langkah 8

Pisahkan pecahan.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Langkah 9.2

Bagilah $1.7320508 + 1 i$ dengan $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Langkah 10

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Langkah 11

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $1$ dengan $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Langkah 11.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Langkah 12

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 13

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 14

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 1.7320508$ dan $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Langkah 15

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Langkah 15.2

Naikkan $1.7320508$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Langkah 15.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Langkah 15.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Langkah 15.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 2$

Langkah 16

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Langkah 17

Karena tangen balikan $\frac{1}{1.7320508}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Langkah 18

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{π}{6}$ dan $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$