Trigonometri Contoh

$- \frac{1}{1 + i}$

Langkah 1

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{1}{1 + 1 i}$ dengan konjugat $1 + 1 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Langkah 2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Langkah 2.2

Kalikan $1 - i$ dengan $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Langkah 2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Perluas $(1 + 1 i) (1 - i)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Langkah 2.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Langkah 2.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Langkah 2.3.2.5

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Langkah 2.3.2.6

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Langkah 2.3.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Langkah 2.3.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Langkah 2.3.2.9

Tambahkan $- 1 i$ dan $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Langkah 2.3.2.10

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Langkah 3

Pisahkan pecahan $\frac{1 - i}{2}$ menjadi dua pecahan.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Langkah 4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Langkah 5

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Langkah 6

Kalikan $- - \frac{i}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{i}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Langkah 7

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 8

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - \frac{1}{2}$ dan $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 10

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 10.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 10.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 10.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 10.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 10.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 10.5.2

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 10.5.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 10.5.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Langkah 10.5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Langkah 10.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Langkah 10.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 10.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 10.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 10.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 10.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 10.8

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 10.9

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 10.10

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 10.10.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 10.10.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 10.10.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 10.10.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 10.10.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 10.10.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 10.10.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 10.10.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 10.10.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10.10.6.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 11

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Langkah 12

Karena tangen balikan $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 13

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{3 π}{4}$ dan $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$