Trigonometri Contoh

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Langkah 1

Mulai dari sisi kanan.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Langkah 2

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Langkah 3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Langkah 3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Langkah 4

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Langkah 5

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Langkah 5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Perluas $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.2

Kalikan $- \sin (x)$ dengan $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.3

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.4

Kalikan $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.4.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.4.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.2

Tambahkan $- \sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Langkah 6.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Langkah 6.3

Tambahkan $- {\sin (x)}^{2}$ dan $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 7

Tulis $- \sin^{2} (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menuliskan $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.2

Kalikan $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 10

Sekarang, hitung sisi kiri persamaan.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 11

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Langkah 11.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Langkah 12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Langkah 13

Tulis $- \sin^{2} (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Langkah 14

Tambahkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Untuk menuliskan $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 14.2

Kalikan $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ dengan $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 14.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 15

Sederhanakan pembilangnya.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 16

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ adalah identitas