Trigonometri Contoh

$5 \cos (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 4$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $2 \sin^{2} (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$5 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) = 4$

Langkah 1.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 = 0$

Langkah 2

Ganti $2 \sin^{2} (x)$ dengan $2 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$5 \cos (x) + 2 (1 - \cos^{2} (x)) - 4 = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$5 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 4 = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$5 \cos (x) + 2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 4 = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$5 \cos (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

Langkah 4

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$5 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) - 2 = 0$

Langkah 6

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Langkah 7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2} + 5 u - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 5 u - 2 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $5 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 5 u) - 2 = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2}) - (- 5 u)$ .

$- (2 u^{2} - 5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2} - 5 u) - 1 (2)$ .

$- (2 u^{2} - 5 u + 2) = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 u$ .

$- (2 u^{2} - 5 u + 2) = 0$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1$ ditambah $- 4$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2) = 0$

Langkah 7.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2) = 0$

Langkah 7.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- (2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2) = 0$

Langkah 7.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 7.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 2)) = 0$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (2 u - 1) (u - 2) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Langkah 9

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 9.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 9.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 9.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 10

Atur $u - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $u - 2$ sama dengan $0$ .

$u - 2 = 0$

Langkah 10.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 2$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (2 u - 1) (u - 2) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, 2$

Langkah 12

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, 2$

Langkah 13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 2$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 14.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 14.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 14.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 14.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 14.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 14.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $2$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$