Trigonometri Contoh

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Langkah 1

Ganti $2 \sec^{2} (θ)$ dengan $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ berdasarkan identitas $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Langkah 3

Susun ulang polinomial tersebut.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Langkah 4

Substitusikan $u = \tan^{2} (θ)$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Langkah 5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Langkah 6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Langkah 7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $u^{2} - 2 u - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1$

Langkah 7.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 9

Atur $u - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u - 3$ sama dengan $0$ .

$u - 3 = 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 3$

Langkah 10

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (u - 3) (u + 1) = 0$ benar.

$u = 3, - 1$

Langkah 12

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = \tan^{2} (θ)$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Langkah 13

Selesaikan persamaan pertama untuk $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Langkah 14

Selesaikan persamaan untuk $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Langkah 14.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Langkah 14.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Langkah 14.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 15

Selesaikan persamaan kedua untuk $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Langkah 16

Selesaikan persamaan untuk $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Hilangkan tanda kurung.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Langkah 16.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 16.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Langkah 16.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\tan (θ) = i$

Langkah 16.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\tan (θ) = - i$

Langkah 16.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\tan (θ) = i, - i$

Langkah 17

Penyelesaian untuk $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ adalah $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Langkah 18

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Langkah 19

Selesaikan $θ$ dalam $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 19.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (\sqrt{3})$ adalah $60$ .

$θ = 60$

Langkah 19.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $180$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$θ = 180 + 60$

Langkah 19.4

Tambahkan $180$ dan $60$ .

$θ = 240$

Langkah 19.5

Tentukan periode dari $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Langkah 19.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Langkah 19.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{180}{1}$

Langkah 19.5.4

Bagilah $180$ dengan $1$ .

$180$

Langkah 19.6

Periode dari fungsi $\tan (θ)$ adalah $180$ sehingga nilai akan berulang setiap $180$ derajat di kedua arah.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 20

Selesaikan $θ$ dalam $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Langkah 20.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (- \sqrt{3})$ adalah $- 60$ .

$θ = - 60$

Langkah 20.3

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $180$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = - 60 - 180$

Langkah 20.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Tambahkan $360 °$ ke $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Langkah 20.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $120 °$ positif dan koterminal dengan $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Langkah 20.5

Tentukan periode dari $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Langkah 20.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Langkah 20.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{180}{1}$

Langkah 20.5.4

Bagilah $180$ dengan $1$ .

$180$

Langkah 20.6

Tambahkan $180$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.6.1

Tambahkan $180$ ke $- 60$ untuk menentukan sudut positif.

$- 60 + 180$

Langkah 20.6.2

Kurangi $60$ dengan $180$ .

$120$

Langkah 20.6.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$θ = 120$

Langkah 20.7

Periode dari fungsi $\tan (θ)$ adalah $180$ sehingga nilai akan berulang setiap $180$ derajat di kedua arah.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 21

Selesaikan $θ$ dalam $\tan (θ) = i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ = \arctan (i)$

Langkah 21.2

Tangen balikan $\arctan (i)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 22

Selesaikan $θ$ dalam $\tan (θ) = - i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ = \arctan (- i)$

Langkah 22.2

Tangen balikan $\arctan (- i)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 23

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 24

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Gabungkan $60 + 180 n$ dan $240 + 180 n$ menjadi $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 24.2

Gabungkan $120 + 180 n$ dan $120 + 180 n$ menjadi $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$