Trigonometri Contoh

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sin (x)$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 u^{2} - 1 u) + 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 3

Atur $2 \sin (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 \sin (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 \sin (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \sin (x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \sin (x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $30$ .

$x = 30$

Langkah 3.2.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $180$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = 180 - 30$

Langkah 3.2.6

Kurangi $30$ dengan $180$ .

$x = 150$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{360}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah $360$ dengan $1$ .

$360$

Langkah 3.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $360$ sehingga nilai akan berulang setiap $360$ derajat di kedua arah.

$x = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- 90$ .

$x = - 90$

Langkah 4.2.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $360$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $180$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 360 + 90 + 180$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kurangi $360 °$ dengan $360 + 90 + 180 °$ .

$x = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Langkah 4.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $270 °$ positif, lebih kecil dari $360 °$ , dan koterminal dengan $360 + 90 + 180$ .

$x = 270 °$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{360}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah $360$ dengan $1$ .

$360$

Langkah 4.2.7

Tambahkan $360$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Tambahkan $360$ ke $- 90$ untuk menentukan sudut positif.

$- 90 + 360$

Langkah 4.2.7.2

Kurangi $90$ dengan $360$ .

$270$

Langkah 4.2.7.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = 270$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $360$ sehingga nilai akan berulang setiap $360$ derajat di kedua arah.

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$ benar.

$x = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 270 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$x = 30 + 120 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$