Prakalkulus Contoh

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ tidak terdefinisi.

$x = - 2, x = 0$

Langkah 2

Karena $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kiri dan $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kanan, maka $x = - 2$ adalah asimtot tegak.

$x = - 2$

Langkah 3

Karena $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 2, 0$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Langkah 8.1.2

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Langkah 8.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

Langkah 8.2

Perluas $x (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Langkah 8.2.2

Susun kembali $x$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Langkah 8.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Langkah 8.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

Langkah 8.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

Langkah 8.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 8.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

Langkah 8.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 5 x^{2} - 10 x + 0$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

Langkah 8.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

Langkah 8.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

Langkah 8.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 3 x - 5$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 2, 0$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 3 x - 5$

Langkah 10