Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ tidak terdefinisi.

$x = - 3, x = 0$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 3$ dari kiri dan $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 3$ dari kanan, maka $x = - 3$ adalah asimtot tegak.

$x = - 3$

Langkah 3

Karena $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 3, 0$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.1.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.1.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Langkah 8.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Langkah 8.1.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2

Perluas $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.6

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.7

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.8

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.9

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.13

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.14

Buang faktor negatif.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.16

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.19

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.20

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.21

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.22

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.23

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.24

Pindahkan $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.25

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.26

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.27

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.2.28

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Langkah 8.3

Perluas $x (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Langkah 8.3.2

Susun kembali $x$ dan $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Langkah 8.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Langkah 8.3.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Langkah 8.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Langkah 8.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.4

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.5

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.6

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Langkah 8.7

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 3 x^{2} + 0$

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Langkah 8.8

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Langkah 8.9

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Langkah 8.10

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 8.11

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Langkah 8.12

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} - 9 x + 0$

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Langkah 8.13

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Langkah 8.14

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Langkah 8.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x - 3$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 3, 0$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x - 3$

Langkah 10