Prakalkulus Contoh

$f (x) = 10 - | x |$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 - | x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Langkah 1.1.2

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- | x |$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Langkah 1.3

Kurangi $\frac{x}{| x |}$ dengan $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3.2

Kalikan $| x |$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.4

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.5

Gabungkan $\frac{x}{| x |}$ dan $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Kalikan $\frac{x}{| x |}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Langkah 2.11.2

Tambahkan $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.1

Untuk menuliskan $| x |$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.3.1

Kalikan $| x | | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.3.1.1

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.4

Bagilah $0$ dengan $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 2.12.3

Bagilah $0$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Langkah 2.12.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (x) = 0$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 - | x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Langkah 4.1.1.2

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- | x |$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 4.1.2.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $\frac{x}{| x |}$ dengan $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5.3

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $- \frac{x}{| x |} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{x}{| x |}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$| x | = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$0$

Langkah 9

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 9.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- \frac{x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 2$ dan $0$ adalah $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Langkah 9.2.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$f' (- 2) = 1$

Langkah 9.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 9.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $- \frac{x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Langkah 9.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (2) = - 1$

Langkah 9.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 9.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 10