Prakalkulus Contoh

$x^{2} - y^{2} = 36$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} = 36 - x^{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $- y^{2} = 36 - x^{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} = 36 - x^{2}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah $36$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = - 36 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y^{2} = - 36 + \frac{x^{2}}{1}$

Langkah 2.3.1.3

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 36 + x^{2}$

Langkah 3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 6^{2} + x^{2}}$

Langkah 4.1.2

Susun kembali $- 6^{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 6^{2}}$

Langkah 4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 6$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

Langkah 6

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 6) (x - 6)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 6) (x - 6) \geq 0$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Langkah 7.2

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Atur $x + 6$ sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Langkah 7.2.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 7.3

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 7.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 6) (x - 6) \geq 0$ benar.

$x = - 6, 6$

Langkah 7.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$x > 6$

Langkah 7.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 8$

Langkah 7.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 8$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 8) + 6) ((- 8) - 6) \geq 0$

Langkah 7.6.1.3

Sisi kiri $28$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 7.6.2

Uji nilai pada interval $- 6 < x < 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 6 < x < 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 7.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 6) ((0) - 6) \geq 0$

Langkah 7.6.2.3

Sisi kiri $- 36$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 7.6.3

Uji nilai pada interval $x > 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 7.6.3.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$((8) + 6) ((8) - 6) \geq 0$

Langkah 7.6.3.3

Sisi kiri $28$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 7.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 6$ Benar

$- 6 < x < 6$ Salah

$x > 6$ Benar

$x < - 6$ Benar

$- 6 < x < 6$ Salah

$x > 6$ Benar

Langkah 7.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 6$ atau $x \geq 6$

Langkah 8

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 6] \cup [6, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 6, x \geq 6}$

Langkah 9

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 10

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 6] \cup [6, \infty), {x | x \leq - 6, x \geq 6}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 11