Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{16}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Langkah 3.2.1.3.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Langkah 3.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 3.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{4}$ sebagai ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Langkah 5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.7

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 5.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Langkah 5.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Langkah 5.11

Kalikan $\frac{4 + x}{2}$ dengan $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Langkah 5.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Langkah 5.13

Tulis kembali $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.13.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Langkah 5.13.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.13.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Langkah 5.14

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Langkah 5.15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Langkah 8.2

Atur $4 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $4 + x$ sama dengan $0$ .

$4 + x = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 8.3

Atur $4 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $4 - x$ sama dengan $0$ .

$4 - x = 0$

Langkah 8.3.2

Selesaikan $4 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 4$

Langkah 8.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = 4$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 4, 4$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $- 20$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $16$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $- 20$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 4 \leq x \leq 4$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 4, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 2, 2]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Daerah hasil: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Langkah 12