Prakalkulus Contoh

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 1

Tambahkan $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Langkah 2

Sederhanakan $1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Langkah 2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

Langkah 2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

Langkah 2.2.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

Langkah 2.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Langkah 2.2.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Langkah 2.2.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Langkah 2.2.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

Langkah 2.2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

Langkah 2.2.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Langkah 4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Langkah 4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

Langkah 4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

Langkah 4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

Langkah 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

Langkah 6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $x^{2} - 2 x + 17$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 6.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

Langkah 6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ .

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Langkah 7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Langkah 7.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Langkah 7.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Langkah 7.4

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Langkah 7.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Langkah 8

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

Langkah 9.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 9.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = 17$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.3

Kurangi $68$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.4

Tulis kembali $- 64$ sebagai $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (64)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.7

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.1.9

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Langkah 9.4.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Langkah 9.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.3

Kurangi $68$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.4

Tulis kembali $- 64$ sebagai $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (64)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.7

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.1.9

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Langkah 9.5.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Langkah 9.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 1 + 4 i$

Langkah 9.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.3

Kurangi $68$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.4

Tulis kembali $- 64$ sebagai $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (64)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.7

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.1.9

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Langkah 9.6.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Langkah 9.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 1 - 4 i$

Langkah 9.7

Identifikasi koefisien pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Suku pertama pada polinomial adalah suku dengan pangkat tertinggi.

$x^{2}$

Langkah 9.7.2

Koefisien pertama pada polinomial adalah koefisien dari suku pertamanya.

$1$

Langkah 9.8

Karena tidak ada perpotongan sumbu x yang nyata dan koefisien pertamanya positif, maka parabolanya membuka ke atas dan $x^{2} - 2 x + 17$ selalu lebih besar dari $0$ .

Semua bilangan riil

Langkah 10

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 11

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Langkah 12

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Daerah hasil: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Langkah 13