Prakalkulus Contoh

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Langkah 2

Sederhanakan $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Langkah 2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Langkah 2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Langkah 2.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3$ dan $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Langkah 2.2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Langkah 2.2.3.4

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Langkah 2.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Langkah 2.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- (x + 1)$ sebagai $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.1.1.1.2

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.1.1.2.2

Kalikan ${(y - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Langkah 4.2.1.2

Gabungkan $16$ dan $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Langkah 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Langkah 6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ sebagai ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna ${(2^{2})}^{2}$ dari $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 6.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Langkah 6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Langkah 6.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Langkah 6.4

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Langkah 7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Langkah 7.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Langkah 7.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Langkah 7.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Langkah 7.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Langkah 8

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 9.2

Atur $x + 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Atur $x + 7$ sama dengan $0$ .

$x + 7 = 0$

Langkah 9.2.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 7$

Langkah 9.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 9.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 9.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ benar.

$x = - 7, - 1$

Langkah 9.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Langkah 9.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 9.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Langkah 9.6.1.3

Sisi kiri $27$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.6.2

Uji nilai pada interval $- 7 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 7 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 9.6.2.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Langkah 9.6.2.3

Sisi kiri $- 9$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.6.3

Uji nilai pada interval $x > - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 9.6.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Langkah 9.6.3.3

Sisi kiri $7$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 7$ Benar

$- 7 < x < - 1$ Salah

$x > - 1$ Benar

$x < - 7$ Benar

$- 7 < x < - 1$ Salah

$x > - 1$ Benar

Langkah 9.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 7$ atau $x \geq - 1$

Langkah 10

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Langkah 11

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 12

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 13