Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Langkah 4.1.6

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Langkah 4.2.2

Kurangi $6$ dengan $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Langkah 4.2.3

Kurangi $6$ dengan $- 2$ .

$- 8 + 8$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 8$ dan $8$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{3} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan $u^{2} - 6 u + 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $8$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 4, - 2$

Langkah 9.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.8

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.9.2

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 9.9.3

Faktorkan $x^{2} - 2$ dari $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 9.10

Perluas $(x + 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Langkah 9.10.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Langkah 9.10.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 9.11

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.11.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot - 2$ dan $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 9.11.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 9.11.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 9.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.12.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 9.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Langkah 9.13

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Langkah 9.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.14.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.14.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 4, 1$

Langkah 9.14.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Langkah 9.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} - 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 2$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 11.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 12

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 13

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ benar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Bentuk Desimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Langkah 16