Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{4} + 3 x^{2}}$

Langkah 1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4} + 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} (x^{2} + 3)}$

Langkah 1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x^{2} (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.5.2

Bagilah $x^{4} + x^{2} - 9 x - 12$ dengan $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.1.2

Bagilah $A (x^{2} + 3)$ dengan $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A (x^{2} + 3) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Faktorkan $x$ dari $B (x^{2} (x^{2} + 3))$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x (x^{2} + 3))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.4.2.5

Bagilah $B (x (x^{2} + 3))$ dengan $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x (x^{2} + 3)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.5

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.6

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.6.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.6.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.6.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + 3 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.8

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B (3 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.9

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.10

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.6.10.2

Bagilah $(C x + D) (x^{2})$ dengan $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + (C x + D) (x^{2})$

Langkah 1.6.11

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Langkah 1.6.12

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.12.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Langkah 1.6.12.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.12.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Langkah 1.6.12.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Langkah 1.6.12.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Langkah 1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan $B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Langkah 1.7.2

Pindahkan $3 A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2} + 3 A$

Langkah 1.7.3

Pindahkan $3 x B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Langkah 1.7.4

Pindahkan $A x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Langkah 2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{3}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B + C$

Langkah 2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + D$

Langkah 2.3

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 9 = 3 B$

Langkah 2.4

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 12 = 3 A$

Langkah 2.5

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Selesaikan $B$ dalam $- 9 = 3 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 B = - 9$ .

$3 B = - 9$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.1.2

Bagi setiap suku pada $3 B = - 9$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $3 B = - 9$ dengan $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.1.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $3$ .

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $- 3$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = B + C$ dengan $- 3$ .

$0 = (- 3) + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 A = - 12$ .

$3 A = - 12$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.2.4

Bagi setiap suku pada $3 A = - 12$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Bagilah setiap suku di $3 A = - 12$ dengan $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $3$ .

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- 4$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 + C = 0$ .

$- 3 + C = 0$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Langkah 3.3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A + D$ dengan $- 4$ .

$1 = (- 4) + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Langkah 3.4

Selesaikan $D$ dalam $1 = - 4 + D$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 4 + D = 1$ .

$- 4 + D = 1$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $D$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$D = 1 + 4$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Langkah 3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$D = 5 C = 3 A = - 4 B = - 3$

Langkah 3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$D = 5, C = 3, A = - 4, B = - 3$

Langkah 4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

Langkah 5

Kalikan $3$ dengan $x$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$