Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 1

Bagi menggunakan pembagian polinomial panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $x (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 1.1.2

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Langkah 1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Langkah 1.1.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Langkah 1.2

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 1.3

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 1.4

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Langkah 1.5

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Langkah 1.6

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Langkah 1.7

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Langkah 1.8

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Langkah 2

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Langkah 2.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 2.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.5.2

Bagilah $2 x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6.1.2

Bagilah $A (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.6.4.2

Bagilah $(B x + C) (x)$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Langkah 2.6.5

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Langkah 2.6.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1

Pindahkan $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Langkah 2.6.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Langkah 2.7

Pindahkan $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Langkah 3

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = A + B$

Langkah 3.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 3.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 3.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Langkah 4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Langkah 4.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Langkah 4.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $2 = A + B$ dengan $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.4

Selesaikan $B$ dalam $2 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Langkah 4.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Langkah 5

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 6.2

Tambahkan $(1) \cdot x$ dan $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Langkah 6.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$