Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Langkah 1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 1.4.2

Bagilah $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ dengan $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.5.1.2

Bagilah $A x + B$ dengan $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ dan $x^{2} - 2 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $x^{2} - 2 x + 3$ dari $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Langkah 1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

Langkah 1.5.2.2.4

Bagilah $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ dengan $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

Langkah 1.5.3

Perluas $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

Langkah 1.5.4.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $D$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

Langkah 1.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Pindahkan $B$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

Langkah 1.6.2

Pindahkan $3 C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Langkah 1.6.3

Pindahkan $A x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Langkah 2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{3}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = C$

Langkah 2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 4 = - 2 C + D$

Langkah 2.3

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$9 = A + 3 C - 2 D$

Langkah 2.4

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 2.5

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $- 4 = - 2 C + D$ dengan $1$ .

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.2.3

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $9 = A + 3 C - 2 D$ dengan $1$ .

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.3

Selesaikan $D$ dalam $- 4 = - 2 + D$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 + D = - 4$ .

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $D$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.4

Substitusikan semua kemunculan $D$ dengan $- 2$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $D$ dalam $9 = A + 3 - 2 D$ dengan $- 2$ .

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan $A + 3 - 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.4.2.1.2

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Langkah 3.4.3

Substitusikan semua kemunculan $D$ dalam $- 5 = B + 3 D$ dengan $- 2$ .

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.5

Selesaikan $B$ dalam $- 5 = B - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B - 6 = - 5$ .

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $6$ .

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.6

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + 7 = 9$ .

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.6.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $A$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.6.2.2

Kurangi $7$ dengan $9$ .

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Langkah 3.7

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

Langkah 4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $2$ dengan $x$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Langkah 5.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$