Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 8 x - 3$

Langkah 1

Atur $x^{3} - 8 x - 3$ sama dengan $0$ .

$x^{3} - 8 x - 3 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x^{3} - 8 x - 3$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $3$ ke dalam polinomialnya.

$3^{3} - 8 \cdot 3 - 3$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$27 - 24 - 3$

Langkah 2.1.3.4

Kurangi $24$ dengan $27$ .

$3 - 3$

Langkah 2.1.3.5

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 8 x - 3}{x - 3}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $x^{3} - 8 x - 3$ dengan $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$3$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 3$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 3 x + 1$

Langkah 2.1.6

Tulis $x^{3} - 8 x - 3$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.4

Atur $x^{2} + 3 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2} + 3 x + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 3$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$ benar.

$x = 3, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 3, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = 3, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$

Langkah 4