Prakalkulus Contoh

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

Langkah 1

Atur $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ sama dengan $0$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan $- 0.75$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 0.75$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan $- 0.75$ ke dalam polinomialnya.

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan $- 0.75$ menjadi pangkat $4$ .

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.3

Kalikan $256$ dengan $0.31640625$ .

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.4

Naikkan $- 0.75$ menjadi pangkat $3$ .

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $768$ dengan $- 0.421875$ .

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.6

Kurangi $324$ dengan $81$ .

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.7

Naikkan $- 0.75$ menjadi pangkat $2$ .

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.8

Kalikan $864$ dengan $0.5625$ .

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.9

Tambahkan $- 243$ dan $486$ .

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Langkah 2.1.1.3.10

Kalikan $432$ dengan $- 0.75$ .

$243 - 324 + 81$

Langkah 2.1.1.3.11

Kurangi $324$ dengan $243$ .

$- 81 + 81$

Langkah 2.1.1.3.12

Tambahkan $- 81$ dan $81$ .

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena $- 0.75$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $4 x + 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ dengan $4 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $256 x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $4 x$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $256 x^{4} + 192 x^{3}$

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $576 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $576 x^{3} + 432 x^{2}$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $432 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $432 x^{2} + 324 x$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

Langkah 2.1.1.5.16

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.17

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $108 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.18

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.19

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $108 x + 81$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Langkah 2.1.1.5.20

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

Langkah 2.1.1.5.21

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

Langkah 2.1.1.6

Tulis $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ sebagai himpunan faktor.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

Langkah 2.1.2

Kelompokkan kembali suku-suku.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $64 x^{3}$ sebagai ${(4 x)}^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.5

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 4 x$ dan $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.6.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.6.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.6.4

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.6.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.7

Faktorkan $36 x$ dari $144 x^{2} + 108 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Faktorkan $36 x$ dari $144 x^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

Langkah 2.1.7.2

Faktorkan $36 x$ dari $108 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

Langkah 2.1.7.3

Faktorkan $36 x$ dari $36 x (4 x) + 36 x (3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

Langkah 2.1.8

Faktorkan $4 x + 3$ dari $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Faktorkan $4 x + 3$ dari $36 x (4 x + 3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

Langkah 2.1.8.2

Faktorkan $4 x + 3$ dari $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

Langkah 2.1.9

Tambahkan $- 12 x$ dan $36 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Langkah 2.1.10

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1.1

Tulis kembali $16 x^{2}$ sebagai ${(4 x)}^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Langkah 2.1.10.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

Langkah 2.1.10.1.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Langkah 2.1.10.1.4

Tulis kembali polinomialnya.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Langkah 2.1.10.1.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 4 x$ dan $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

Langkah 2.1.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.1.11

Gabungkan faktor sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.1

Naikkan $4 x + 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.1.11.2

Naikkan $4 x + 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.1.11.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.1.11.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.1.11.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

Langkah 2.1.11.6

Tambahkan $2$ dan $2$ .

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

Langkah 2.2

Atur $4 x + 3$ agar sama dengan $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 3$

Langkah 2.3.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{3}{4}$

Langkah 3