Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Langkah 1

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Langkah 1.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.2.3

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Langkah 1.2.2.5

Faktorkan $u^{2} - 9 u + 20$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $20$ dan jumlahnya $- 9$ .

$- 5, - 4$

Langkah 1.2.2.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Langkah 1.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Langkah 1.2.2.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.8

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.8.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.8.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.9

Faktorkan $x^{2} - 5$ dari $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.9.1

Faktorkan $x^{2} - 5$ dari $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.9.2

Faktorkan $x^{2} - 5$ dari $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.9.3

Faktorkan $x^{2} - 5$ dari $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.10

Perluas $(x + 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.10.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.10.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.11

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.11.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot - 2$ dan $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.11.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.11.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.12.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Langkah 1.2.2.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Langkah 1.2.2.13

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Langkah 1.2.2.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.14.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.14.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 4, 1$

Langkah 1.2.2.14.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x^{2} - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x^{2} - 5$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $x^{2} - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 5$

Langkah 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 1.2.6

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ benar.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Langkah 1.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5.1.5

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Langkah 2.2.5.1.6

Kalikan $15$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Langkah 2.2.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Langkah 2.2.5.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 20$

Langkah 2.2.5.2.4

Tambahkan $0$ dan $20$ .

$y = 20$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, 20)$

Langkah 3

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, 20)$

Langkah 4