Prakalkulus Contoh

$y = 3 \cos (2 x - π)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (2 x - π)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - π$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - π$ .

$3 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (\sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.6

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + 0)$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- 3 \sin (2 x - π) \cdot 2$

Langkah 1.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- 6 \sin (2 x - π)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \sin (2 x - π)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - π$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - π$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.5

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) \cdot 2$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 \cos (2 x - π)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 6 \sin (2 x - π) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 6 \sin (2 x - π) = 0$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 6 \sin (2 x - π) = 0$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x - π)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 6}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 6$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x - π = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$2 x - π = 0$

Langkah 7

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = π$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $2 x = π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $2 x = π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$2 x - π = π - 0$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$2 x - π = π$

Langkah 10.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = π + π$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$2 x = 2 π$

Langkah 10.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 2 π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 2 π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.3.3.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$x = π$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 12 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 12 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 12 \cos (π - π)$

Langkah 13.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$- 12 \cos (0)$

Langkah 13.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Langkah 13.4

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$- 12$

Langkah 14

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 15.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π - π)$

Langkah 15.2.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (0)$

Langkah 15.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

Langkah 15.2.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Langkah 15.2.5

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 12 \cos (2 (π) - π)$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$- 12 \cos (π)$

Langkah 17.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 12 (- \cos (0))$

Langkah 17.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.4

Kalikan $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Langkah 17.4.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 1$ .

$12$

Langkah 18

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 3 \cos (2 (π) - π)$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$f (π) = 3 \cos (π)$

Langkah 19.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 3 (- \cos (0))$

Langkah 19.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 19.2.4

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 3 \cdot - 1$

Langkah 19.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 3$

Langkah 19.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$y = - 3$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 \cos (2 x - π)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ adalah maksimum lokal

$(π, - 3)$ adalah minimum lokal

Langkah 21