Prakalkulus Contoh

$y = 5 \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$5 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 5 (- \sin (x))$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f'' (x) = - 5 \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $5 \cos (x) = 0$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $5 \cos (x) = 0$ dengan $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{5}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 8

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 8.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 5 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Langkah 11.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5$

Langkah 12

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 1$

Langkah 13.2.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 15.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.3

Kalikan $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Langkah 15.3.2

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$5$

Langkah 16

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 17.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.3

Kalikan $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot - 1$

Langkah 17.2.3.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5$

Langkah 17.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$y = - 5$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 5 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 5)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - 5)$ adalah minimum lokal

Langkah 19