Prakalkulus Contoh

$f (x) = \arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 - x^{2}}$ sebagai ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arcsin (x)$ dan $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arcsin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 10.3

Pindahkan ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Langkah 10.4

Kalikan $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 12

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 13

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- (2 x))$

Langkah 16

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- 2 x)$

Langkah 16.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

Langkah 16.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Langkah 16.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Langkah 17

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

Langkah 17.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

Langkah 17.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Langkah 18

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

Langkah 19.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

Langkah 19.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

Langkah 19.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

Langkah 19.2.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

Langkah 19.2.5

Tambahkan $0$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

Langkah 19.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.2.7

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.2.8

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$