Prakalkulus Contoh

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

Langkah 1

Tambahkan $6 x$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

Langkah 2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

Langkah 3

Kurangkan $56$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

Langkah 4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 4.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Langkah 4.1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Langkah 4.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Langkah 4.1.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

Langkah 4.1.3.4

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

Langkah 4.1.3.5

Tambahkan $8$ dan $36$ .

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

Langkah 4.1.3.6

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$44 + 12 - 56$

Langkah 4.1.3.7

Tambahkan $44$ dan $12$ .

$56 - 56$

Langkah 4.1.3.8

Kurangi $56$ dengan $56$ .

$0$

Langkah 4.1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

Langkah 4.1.5

Bagilah $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

Langkah 4.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

Langkah 4.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 4.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 4.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Langkah 4.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 4.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $11 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 4.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Langkah 4.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $11 x^{2} - 22 x$

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Langkah 4.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

Langkah 4.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Langkah 4.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $28 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Langkah 4.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

Langkah 4.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $28 x - 56$

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

Langkah 4.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

Langkah 4.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 11 x + 28$

Langkah 4.1.6

Tulis $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan $x^{2} + 11 x + 28$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $x^{2} + 11 x + 28$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $28$ dan jumlahnya $11$ .

$4, 7$

Langkah 4.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Langkah 4.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Langkah 6

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 7.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 8

Atur $x + 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $x + 7$ sama dengan $0$ .

$x + 7 = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 7$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ benar.

$x = 2, - 4, - 7$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < - 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $- 100$ lebih kecil dari sisi kanan $116$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $- 7 < x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $- 7 < x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $108$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $92$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $56$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $208$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $32$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 7$ Benar

$- 7 < x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

$x < - 7$ Benar

$- 7 < x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 7$ atau $- 4 < x < 2$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

Langkah 14