Prakalkulus Contoh

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{5}$ sebagai $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $243$ sebagai $9^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Faktorkan $81$ dari $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.3.2

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{4}$ sebagai $3^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.7

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.8

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.9

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.10

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.10.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.13

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.14

Kalikan $- 1$ dengan $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.15.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.15.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.5

Evaluasi eksponennya.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.16

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.17

Faktorkan $i^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.18

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.19

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.20

Kalikan $- 1$ dengan $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.21

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.21.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Langkah 2.1.21.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Langkah 2.1.21.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Langkah 2.1.22

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Langkah 2.1.23

Faktorkan $i^{4}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Langkah 2.1.24

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Langkah 2.1.24.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Langkah 2.1.24.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Langkah 2.1.25

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $30 \sqrt{3}$ dengan $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Langkah 2.2.2

Kurangi $30 i$ dengan $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $15 i$ dan $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 21 \sqrt{3}$ dan $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Langkah 2.2.5

Susun kembali $16 i$ dan $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 16 \sqrt{3}$ dan $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 6.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 6.1.3

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 6.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Langkah 6.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Langkah 6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $256$ dengan $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $256$ dan $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali $1024$ sebagai $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Langkah 6.3.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 32$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{5 π}{6}$ dan $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$