Prakalkulus Contoh

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

Langkah 1

Terapkan identitas sudut ganda kosinus.

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

Langkah 2

Kalikan $2$ dengan $22.5 °$ .

$\cos (45)$

Langkah 3

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $45$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$\cos (\frac{90}{2})$

Langkah 3.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Langkah 3.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena kosinus positif pada kuadran pertama.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Langkah 3.4

Nilai eksak dari $\cos (90)$ adalah $0$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.4

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.5.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.5.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.5.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 5

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 7

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 7.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Langkah 7.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Langkah 7.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 7.7

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 7.8

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 7.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 7.9.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 7.9.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 7.9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 7.9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 7.9.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 7.9.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 7.9.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.9.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.9.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.9.6.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 8

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Langkah 9

Karena tangen balikan $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 0$ dan $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$