Prakalkulus Contoh

$\cos (45 °)$

Langkah 1

Nilai eksak dari $\cos (45 °)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 5

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 5.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Langkah 5.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Langkah 5.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.7

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.8

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 5.9.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 5.9.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 5.9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 5.9.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.9.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.9.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.9.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.9.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.9.6.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Langkah 7

Karena tangen balikan $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 0$ dan $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$