Prakalkulus Contoh

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 2

Terapkan sifat distributif.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 3

Kalikan $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{3}{5}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 3.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 4

Kalikan $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{3}{5}$ dengan $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 4.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Langkah 5.1.3

Pindahkan $0.95105651$ ke sebelah kiri $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Langkah 5.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Langkah 5.2.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan $5$ dengan $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $0.95105651$ dengan $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Langkah 6

Perluas $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{10}$ dan $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.2

Bagilah $- 4.63525491$ dengan $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.3

Kalikan $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Gabungkan $4.75528258$ dan $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.3.2

Kalikan $4.75528258$ dengan $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.3.3

Gabungkan $\frac{14.26584774}{10}$ dan $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $14.26584774$ dari $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $10$ dari $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.6

Pisahkan pecahan.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.7

Bagilah $14.26584774$ dengan $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.8

Bagilah $i$ dengan $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.9

Kalikan $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.9.1

Gabungkan $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ dan $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.9.2

Kalikan $- 1.54508497$ dengan $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.9.3

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.11

Faktorkan $8.02849701$ dari $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.12

Faktorkan $10$ dari $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.13

Pisahkan pecahan.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.14

Bagilah $8.02849701$ dengan $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.15

Bagilah $i$ dengan $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.16

Kalikan $0.8028497$ dengan $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Langkah 7.1.17

Kalikan $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.17.1

Gabungkan $4.75528258$ dan $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Langkah 7.1.17.2

Kalikan $3$ dengan $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Langkah 7.1.17.3

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Langkah 7.1.17.4

Gabungkan $\frac{24.7091731 i}{10}$ dan $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Langkah 7.1.17.5

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Langkah 7.1.17.6

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Langkah 7.1.17.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Langkah 7.1.17.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Langkah 7.1.18

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Langkah 7.1.19

Kalikan $24.7091731$ dengan $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Langkah 7.1.20

Bagilah $- 24.7091731$ dengan $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Langkah 7.2

Kurangi $2.47091731$ dengan $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Langkah 7.3

Kurangi $0.8028497 i$ dengan $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Langkah 8

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 9

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 2.9344428$ dan $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Langkah 11

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Naikkan $0.62373507$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Langkah 11.2

Naikkan $- 2.9344428$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Langkah 11.3

Tambahkan $0.38904544$ dan $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Langkah 11.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Langkah 11.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 3$

Langkah 12

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Langkah 13

Karena tangen balikan $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Langkah 14

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 2.93215314$ dan $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$