Prakalkulus Contoh

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.2

Kalikan ${(- 2)}^{3}$ dengan $- 2$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pindahkan $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $- 2$ dengan ${(- 2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $24 (4 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $24$ dengan $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.11

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.12

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.13

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.14

Faktorkan $i^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.15

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.17

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $8$ dengan $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Langkah 2.1.19

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Langkah 2.1.20

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Langkah 2.1.21

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.21.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.21.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Langkah 2.1.21.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Langkah 2.1.22

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $96$ dengan $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 80$ dan $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $64 i$ dengan $64 i$ .

$- 64 + 0$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 64$ dan $0$ .

$- 64$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 64$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 64$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $4096$ sebagai $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 64$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{0}{- 64}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $π$ .

$θ = π$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = π$ dan $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$