Prakalkulus Contoh

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Langkah 1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $3$ dari $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Langkah 2

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ dengan konjugat $10 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Langkah 3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.1.8

Kalikan $i$ dengan $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.2.6

Kalikan $0$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Langkah 3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $(10 i) (1 + 0 i)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Langkah 3.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Langkah 3.3.2.5

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Langkah 3.3.2.6

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Langkah 3.3.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Langkah 3.3.2.9

Kalikan $0$ dengan $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Langkah 3.3.2.10

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Langkah 3.3.2.11

Kurangi $0 i$ dengan $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $0$ dengan $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Langkah 4

Bagilah $- 20 i$ dengan $1$ .

$- 20 i$

Langkah 5

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 6

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 2$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 8

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Naikkan $0$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 8.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Langkah 8.3

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Langkah 8.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Langkah 8.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 2$

Langkah 9

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Langkah 10

Karena tangen balikan $\frac{0}{- 2}$ menghasilkan sudut di kuadran ketiga, nilai dari sudut tersebut adalah $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Langkah 11

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 3.14159265$ dan $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$