Prakalkulus Contoh

$3 - \sqrt{3} i$

Langkah 1

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 2

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 3$ dan $b = - 1 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.1.4

Kalikan ${\sqrt{3}}^{2}$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3^{2}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Langkah 4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Langkah 4.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 9}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $3$ dan $9$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Langkah 4.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Langkah 4.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Langkah 5

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{3})$

Langkah 6

Karena tangen balikan $\frac{- 1 \sqrt{3}}{3}$ menghasilkan sudut di kuadran keempat, nilai dari sudut tersebut adalah $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = - \frac{π}{6}$ dan $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$