Prakalkulus Contoh

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{2}{x - 4}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $8$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 4, - 2$

Langkah 2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{2}{x - 4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Langkah 2.3

Kalikan $\frac{2}{x - 4}$ dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.5.3

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.5.4

Tambahkan $6$ dan $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.7

Tulis kembali $10$ sebagai $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.9

Tulis kembali $- (x - 10)$ sebagai $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 10$

Langkah 5

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 6

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Langkah 8

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 10, 4, 2$

Langkah 9

Tentukan domain dari $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur penyebut dalam $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 9.2.2

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 9.2.2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 9.2.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 9.2.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 9.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 4) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 4, 2$

Langkah 9.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $0.75$ lebih besar dari sisi kanan $- 0.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $2 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $2 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $- 9$ tidak lebih besar dari sisi kanan $- 2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $4 < x < 10$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $4 < x < 10$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 7$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $7$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $0.8\overline{6}$ lebih besar dari sisi kanan $0.\overline{6}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $x > 10$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 10$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 12$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $12$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $0.225$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0.25$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 11.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 2$ Benar

$2 < x < 4$ Salah

$4 < x < 10$ Benar

$x > 10$ Salah

$x < 2$ Benar

$2 < x < 4$ Salah

$4 < x < 10$ Benar

$x > 10$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < 2$ atau $4 < x < 10$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Langkah 14